Синусы каких углов выражаются формулами?

В 8 классе ученики заучивают таблицу синусов и других тригонометрических функций. Она выглядит так:

Школьная таблица синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов

угол $\alpha$, o	0	30	45	60	90
sin$\alpha$	0	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	1
cos$\alpha$	1	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	0
tg$\alpha$	0	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	1	$\sqrt{3}$	-
ctg$\alpha$	-	$\sqrt{3}$	1	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	0

Есть очень хороший мнемонический приём, позволяющий запомнить значения тригонометрических функций табличных углов. Однако составители ЗНО, видимо, считают, что держать эти числа в голове не стоит, потому как всегда помещают тригонометрическую таблицу на обложку тетрадей с задачами тестирования.

Нерадивые ученики наличием такой таблицы объясняют своё нежелание заучивать формулы. Но у интересующихся математикой закономерно возникает другой вопрос - а выражаются ли с помощью формул с корнями синусы других целых углов?



Ответ - да, но только для тех углов, которые можно построить с помощью циркуля и линейки. Например, можно угол в 30 градусов разделить пополам. Тогда по формуле синуса половинного угла, синус 15 градусов найдём как:
$\sin 15^o = \frac{1}{2}\sqrt{2-2\cos 30^o} = \frac{1}{2}\sqrt{2-\sqrt{3}}$

Циркулем и линейкой можно посроить правильный 5-угольник, доказать, что отрезки диагоналей в нём относятся в золотом сечении и получить:
$\sin 54^o = \frac{\sqrt{5}+1}{4}\frac{\phi}{2}$

Можно выражать с помощью форул с корнями синусы сумм и разностей углов, тригонометрические функции которых тоже выражаются формулами с корнями. Поскольку все исходные углы делятся на 3, то и точные формулы тригонометрических функций можно получить для углов, кратных тём градусам. Приведём значения значения синусов. Значения остальных фнукций углов можно получить, воспользовавшись формулами приведения и соотношениями между тригонометрическими функциями.

sin 0^o = 0
sin 3^o = $\frac{(2-\sqrt{12})\sqrt{5+\sqrt5}+(\sqrt{10}-\sqrt2)(\sqrt3+1)}{16}$ - это центральный угол правильного 60-угольника
sin 6^o = $\frac{\sqrt{30-\sqrt{180}}-\sqrt5-1}{8}$ - это центральный угол правильного 30-угольника
sin 9^o = $\tfrac{1}{8} \left[\sqrt{10}+\sqrt2-2\sqrt{5-\sqrt5}\right]$ - это центральный угол правильного 20-угольника
sin 12^o = $\tfrac{1}{8} \left[\sqrt{2(5+\sqrt5)}+\sqrt3-\sqrt{15}\right]$ - это центральный угол правильного 15-угольника
sin 15^o = $\tfrac{1}{4}(\sqrt6-\sqrt2)$
sin 18^o = $\tfrac{1}{4}\left(\sqrt5-1\right)$ - это центральный угол правильного 10-угольника
sin 21^o = $\tfrac{1}{16}\left[2(\sqrt3+1)\sqrt{5-\sqrt5}-(\sqrt6-\sqrt2)(1+\sqrt5)\right]$
sin 24^o = $\tfrac{1}{8}\left[\sqrt{15}+\sqrt3-\sqrt{2(5-\sqrt5)}\right]$
sin 27^o = $\tfrac{1}{8}\left[2\sqrt{5+\sqrt5}-\sqrt2\;(\sqrt5-1)\right]$
sin 30^o = $\frac{1}{2}$ - это центральный угол правильного 6-угольника
sin 33^o = $\tfrac{1}{16}\left[2(\sqrt3-1)\sqrt{5+\sqrt5}+\sqrt2(1+\sqrt3)(\sqrt5-1)\right]$
sin 36^o = $\frac{\sqrt{10-\sqrt{20}}}{4}$ - это центральный угол правильного 5-угольника
sin 39^o = $\tfrac1{16}[2(1-\sqrt3)\sqrt{5-\sqrt5}+\sqrt2(\sqrt3+1)(\sqrt5+1)]$
sin 42^o = $\frac{\sqrt{30+\sqrt{180}}-\sqrt5+1}{8}$
sin 45^o = $\frac{1}{\sqrt2}$ - это центральный угол правильного 4-угольника
sin 48^o = $\frac{\sqrt{15}-\sqrt3+\sqrt{10+\sqrt{20}}}{8}$
sin 51^o = $\tfrac1{16}[2(1+\sqrt3)\sqrt{5-\sqrt5}+\sqrt2(\sqrt3-1)(\sqrt5+1)]$
sin 54^o = $\frac{\sqrt5+1}{4}$
sin 57^o = $\tfrac{1}{16}\left[2(\sqrt3+1)\sqrt{5+\sqrt5}+\sqrt2(1-\sqrt3)(\sqrt5-1)\right]$
sin 60^o = $\frac{sqrt{3}}{2}$
sin 63^o = $\tfrac{1}{8}\left[2\sqrt{5+\sqrt5}+\sqrt2\;(\sqrt5-1)\right]$
sin 66^o = $\tfrac{1}{8}\left(\sqrt{6(5-\sqrt5)}+\sqrt5+1\right)$
sin 69^o = $\tfrac{1}{16}\left[2(\sqrt3-1)\sqrt{5-\sqrt5}+(\sqrt6+\sqrt2)(1+\sqrt5)\right]$
sin 72^o = $\tfrac{1}{4}\sqrt{2(5+\sqrt5)}$
sin 75^o = $\tfrac{1}{4}(\sqrt6+\sqrt2)$
sin 78^o = $\tfrac{1}{8} \left[\sqrt{6(5+\sqrt5)}+\sqrt5-1\right]$
sin 81^o = $\tfrac{1}{8} \left[\sqrt{10}+\sqrt2+2\sqrt{5-\sqrt5}\right]$
sin 84^o = $\frac{\sqrt{10-\sqrt{20}}+\sqrt3+\sqrt{15}}{8}$
sin 87^o = $\frac{(2+\sqrt{12})\sqrt{5+\sqrt5}+(\sqrt{10}-\sqrt2)(\sqrt3-1)}{16}$
sin 90^o = 1

Итак, только для этих целых углов первой четверти синусы, косинусы и им подобные функции можно выразить точно. Для остальных углов выражения будут не только иррационаьными, но и трансцендентными.

А для дробными углов, во-первых, точные выражения будут существовать для половинок этих углов, четвертей восьмых частей и т.д. Но не только для них. Так как циркулем и линейкой можно построить правильный 17-угольник (первым это сделал Карл Гаусс), то можно найти, например,
$\cos21\frac{3}{17}^o=\frac{1}{16}(-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+ 2\sqrt{17+3\sqrt{17}- \sqrt{34-2\sqrt{17}}- 2\sqrt{34+2\sqrt{17}}})$

Также существуют методы построения для правильного 257- и 65537 угольников. Они дают точные формулы для бесконечного количества синусов рациональных углов.