РАсстояния от точки внутри равностороннего треугольника до его сторон

На основной сайт проекта "Приглашение в мир математики" стали заходить, разыскивая решение следующей задачи:

Дан равносторонний треугольник ABC точка D внутри него такая, что расстояние от точки D до сторон треугольника равны 5, 6 и 7 в некотором порядке. Найдите площадь треугольника ABC, S_ABC.

В решении этой геометрической задачи используется одно интересное свойство правильного трегуольника.


Дело в том, что для любой точки внутри равностороннего трегуольника сумма расстояний от неё до сторон треугольника постоянна и равна высоте этого трегуольника. Для начала докажем это утверджение для точек, лежащих на стороне треугольника.