Решение задачи по просьбе читателя

По просьбе читателя блога разбираю решение задачи с параметром, которая вполне может попасться на ЗНО.

Условие.

Найдите наименьшее целое значение параметра а, при котором уравнение $\frac{5}{3x-a}=\frac{3}{ax-4}$ имеет положительный корень.

Решение.
Т.к. в уравнении дроби, то прежде всего найдём ОДЗ. Знаменатели не должны равняться нулю.
$3x-a\neq 0$
$x\neq\frac{a}{3}$

$ax-4\neq 0$
$x\neq\frac{4}{a}$



Теперь решаем уравнение как пропорцию (произведения крест-накрест должны быть равными).

5(ax - 4) = 3(3x - a)
5ax - 20 = 9x - 3a
5ax - 9x = 20 - 3a
x(5a - 9) = 20 - 3a
$x=\frac{20-3a}{5a-9}$

Это общая формула корней уравнения, в зависимости от а. Теперь нужно найти, при каких условиях корень будет положительным.

Решим неравенство:
$\frac{20-3a}{5a-9}>0$

Решаем его методом интервалов.
Числитель равен нулю при
20 -3a = 0
 $a=\frac{20}{3}$
 $a=6\frac{2}{3}$


Знаменатель равен нулю при
5a - 9 = 0
$a=\frac{9}{5}$
$a=1\frac{4}{5}$

Т.к. неравенство строгое, то корни и числителя и знаменателя выкалываем на числовой оси.
Берём значение a = 0, если его подставить в неравенство, оно окажется отрицательным. Строим змейку:

Получается, что х будет положительным, если $a\in\left(\frac{9}{5};\frac{20}{3}\right)$
В этот промежуток попадают целые числа 2, 3, 4, 5, 6.
Не стоит сразу писать, что ответ равен двум. Ведь х, полученный по формуле
$x=\frac{20-3a}{5a-9}$
Может не удовлетворить требования ОДЗ:
$x\neq\frac{a}{3}$ и $x\neq\frac{4}{a}$
В таком случае корней вообще не будет.

Пробуем а = 2.
$x=\frac{20-6}{10-9}=14$
ОДЗ: $14\neq\frac{2}{3}$ и $14\neq\frac{4}{2}$ - всё ОК, корень удовлетворяет условиям!

Ответ: 2