Как складывать дроби

Одна читательница в соцсети задала вопрос о том, как сложить дроби. Это хорошая тема для нашего математического школьного справочника.

Самый простой способ сложения дробей

Допустим, нам надо сложить дроби $\frac{3}{5}$ и $\frac{4}{7}$. А складывать можно только дроби с одинаковым знаменателем. На помощь в этом случае приходит основное свойство дроби, изучаемое в 6м классе: если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же число, то дробь не изменится.

Поэтому числитель и знаменатель первой дроби, $\frac{3}{5}$, умножим на знаменатель второй дроби, 7. Получаем дробь $\frac{21}{35}$. А числитель и знаменатель второй дроби, $\frac{4}{7}$, умножаем на знаменатель первой, то есть на 5. Получаем дробь $\frac{20}{35}$.

У нас получилась пара дробей с одинаковыми знаменателями. Поэтому просто складываем числители, а знаменатель оставляем.

$\frac{3}{5}+\frac{4}{7} = \frac{21}{35}+\frac{20}{35} = \frac{21+20}{35}=\frac{41}{35}$

Готово!

Попробуем ещё один пример сложения дробей.
$\frac{4}{9}+\frac{2}{10}$

Умножением числителя и знаменателя на 10 первая дробь превращается в $\frac{40}{90}$. А умножением числителя и знаменателя на 9 вторая дробь превращается в $\frac{18}{90}$. Значит, результат будет равен:

$\frac{4}{9}+\frac{2}{10} = \frac{40}{90}+\frac{18}{90}=\frac{58}{90}$

Обратите внимание, что в результате и числитель и знаменатель делятся на 2 А основное свойство дроби работает в обе стороны: мы можем числитель и знаменатель как умножить, так и разделить на одно и то же число - дробь не изменится. Делим на 2 и получаем:

$\frac{58}{90} = \frac{29}{45}$

Это был самый простой способ сложения с точки зрения мыслительных операций. А часто бывает, что можно чуть-чуть больше подумать, но в итоге поменьше считать.

Сложение дробей путём приведения к общему знаменателю

Во многих случаях оказывается, что чтобы сделать у обеих складываемых дробей одинаковые знаменатели, можно домножать на меньшие числа. Вот, например, складывая дроби $\frac{5}{12}$ и $\frac{7}{10}$ достаточно взять для первой добавочный множитель 5 (не 10), а для второй 6 (а не 12).

Получается:
$\frac{5}{12}+\frac{7}{10} = \frac{25}{60}+\frac{42}{60} = \frac{67}{60}$

Число 60 в знаменателе результата - это наименьшее общее кратное для чисел 10 и 12. Оно обозначается ещё и так:
НОК(10,12) = 60

В справочнике по школьной математике мы обязательно расскажем, как находить НОК (проверьте, может быть, там эта статья уже появилась). А пока кратко - НОК двух чисел меньше их произведения в НОД раз. Аббревиатурой НОД обозначается наибольший общий делитель, то есть наибольшее число, на которое делятся оба числа.

Наибольшим общим делителем для чисел 10 и 12 будет 2. Ни на одно из чисел, больших 2 числа 10 и 12 одновременно не делятся. Таким образом, НОД(10,12) = 2.

НОК(10,12) = 10*12/2 = 10*6 = 60

Ну а теперь ещё один пример на сложение дробей
$\frac{3}{16}+\frac{7}{24}$

Числа 16 и 24 одновременно делятся на 8 (и ни на какое число, большее 8).

Значит, НОД(16,24) = 8
НОК(16,24) = 16*24/8 = 16*3 = 48

Поэтому нам надо сделать у дробей знаменатели, равные 48. Для этого у первой дроби числитель и знаменатель домножим на 3, а у второй - на 2.

$\frac{3}{16}+\frac{7}{24} = \frac{9}{48}+\frac{14}{48} = \frac{23}{48}$

Когда наловчитесь, промежуточные вычисления можно пропускать, сразу надписывая над дробями величины добавочных множителей.

Сложим $\frac{4}{25}$ и $\frac{11}{60}$

$\frac{4}{25}^{(12}+\frac{11}{60}^{(5} = \frac{4\cdot 12+11\cdot 5}{300}=\frac{48+55}{300}=\frac{103}{300}$

Как складывать смешанные числа

Если дробь представлена в виде смешанного числа, то можно сложить отдельно целые части, отдельно - дробные части. Затем из суммы дробных частей выделить целую часть (если получится) и прибавить к сумме целых частей

Сложим $1\frac{2}{3}$ и $2\frac{3}{4}$

$1\frac{2}{3}+2\frac{3}{4} = 1+2+\frac{2}{3}^{(4}+\frac{3}{4}^{(3} = 3+\frac{2\cdot 4+3\cdot 3}{12} = 3+\frac{17}{12} = 3+1\frac{5}{12} = 4\frac{5}{12}$

Как вычитать дроби

Вычитаются дроби точно так же, как и складываются. Мы приводим их к общему знаменателю и затем в числителе выполняем вычитание.

$\frac{2}{3}^{(2}-\frac{1}{2}^{(3} = \frac{2\cdot 2 - 1\cdot 3}{6} = \frac{1}{6}$

При вычитании смешанных чисел стоит быть внимательным. Вдруг дробная часть второй дроби окажется больше дробной части первой. Тогда из целой части понадобится занимать единицу.

$4\frac{3}{8}-2\frac{5}{6} = 4-2+\frac{3}{8}^{(3}-\frac{5}{6}^{(2} = 2+\frac{9-10}{24}= 2-\frac{1}{24} = 1+1-\frac{1}{24}=1+\frac{2}{24}-\frac{1}{24} = 1\frac{23}{24}$

Как представить единицу в виде дроби, наверное, все знают - единица равна любой дроби с одинаковыми числителем и знаменателем.
$1=\frac{1}{1}=\frac{2}{2}=\frac{24}{24}=\frac{35}{35}=\frac{100}{100}=\dots$

Что мы получим, если складывать числитель с числителем, а знаменатель - со знаменателем?

Очевидный ответ - двойку по математике :) . Однако, это не совсем так. В математике существует операция сложения числителей и знаменателе двух дробей. Эта операция называется взятием медианты и используется, например, при поиске рациональных приближений.

Свойство медианты двух дробей заключается в том, что она будет больше меньшей из "складываемых" таким образом дробей и меньше большей.

Например, медианта дробей $\frac{3}{5}$ и $\frac{7}{8}$ будет дробь $\frac{3+7}{5+8}=\frac{10}{13}$

Выполняется неравенство:

$\frac{3}{5}<\frac{10}{13}<\frac{7}{8}$

Или, в общем виде:
$\frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+d}<\frac{c}{d}$

Как складывать и вычитать десятичные дроби

Десятичные дроби сладываются и вычитаются так же, как целые числа. Только при выполнении действий столбиком запишите их так, чтобы запятые были одна под другой.

Например:
 35,476
+
  0,158
 35,634

Как сложить десятичную дробь с обыкновенной?

Если в примере на сложение есть и десятичные и обыкновенные дроби, то лучше десятичные дроби перевести в обыкновенные, и дальше уже выполнять действия.

Например:
$7\frac{8}{9}+1,75 = 7\frac{8}{9}+1\frac{3}{4} = 8+\frac{8}{9}^{(4}+\frac{3}{4}^{(9} = 8+\frac{32+27}{36} = 8+1\frac{23}{36} = 9\frac{23}{36}$