Приближение числа пи с помощью формул со скобками

Всё-таки интересно, насколько использование скобок сможет улучшить полученные в нашей математической игре приближения числа пи.

На назве семёныч сразу предложил взять классические 22/7, и ставшие поводом для праздника, так:
(3x1+4+1+5+9)/(2x6-5)=22/7

На dxdy A.Edem эту же дробь получает более экономно:
((3+1)х4+1+5)/(9-2) = 22/7

Для следующей подходящей дроби числа пи, 355/113, оказалось, нужно ненамного больше цифр (правда, если ещё разрешить и "склеивания"):
(31+4x15x92)/(53+5-8-9)

Однако результат, который даёт китайское приближение пи, как показал hippie на dxdy, может быть достигнут и с 10-ю и с 9-ю цифрами, причём без склеиваний и степеней:
355/113 = 3-(1-4+1)/(5+9/(2+6)+5+3) = 3-1x4x(1-5)/(9x2x6+5)

Со склеиванием можно получить более точное выражение для восьми цифр:
3+14*1/592*6 = 3.14(189)

v-lad с назвы сначала получил 4 верных знака после запятой так:
3/(1+4)/(1+5)*92/65+3=3,1415(384615)

А вскоре из первых 44 знаков числа пи получил простое 20993407, с помощью нескольких следующих получил простое 6682409 и. разделив их, получил 8 верных знаков после запятой:
20993407/6682409=3,1415926501954

Отдельно стоит выделить выражения, скобок не использующие в своей обычной записи, однако при записи в строку требующие их для корректного вычисления. Например, это предложенная grizzly и улучшенная venco формула для восьми цифр, содержащая умножение в показателе степени:

$3/1+4^{-1\cdot 5}+9/2^6$ = 3,1416015625

Она превосходит по точности другие выражения аналогичной длины.

Относительно использования склеивания, grizzly на dxdy показал очень характерный пример, как используя склеивание, собки и степени, достичь невиданной точности:
$(3 1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937+5) / 10^{58-2+0-9}$

Мы сейчас обсуждаем на dxdy, как лучше оценивать приближения, полученные различными приёмами.

Можно отобразить текущий прогресс в таблице:
Количество цифр
Приближение с использованием скобок и/или   склеиваний
1
3


2
3


3
3.25


4
3.25


5
3.2
$3\cdot 1^4+1/5$ = 3.2
3+1/(4-1+5) = 3,125
6
3.13(8)

3+1/(4-1-5+9) = 3,(142857)
7
3.13(8)
$3+1/4\cdot 1-5/9^2$ = 3,13(8)
((3+1)х4+1+5)/(9-2) = 3.(142857)
8
3.13(8)
$3/1+4^{-1\cdot 5}+9/2^6$ = 3,1416015625 (умножение в показателе степени)

9
3.13(8)
$3+1/4-1^5/9+2^{-6}/5$ = 3,142013(8)
3-1x4x(1-5)/(9x2x6+5) = 3,141592920…
10
3.13(8)

3-(1-4+1)/(5+9/(2+6)+5+3) = 3,141592920…
11
3.14(1)


12
3.141(6)
$3*1^4+1/5/9+2*6^5*3/5^8$   = 3.14166158(2)

13
3.141(6)

$(31+4\cdot 1^5\cdot 9^2)/(5^3+5-8-9)$ = 3,141592920…
14
3.14(153439)
$3+1/4-1^5/9+2^{-6}/5-3^{-5}/8/9\cdot 7$   = 3,14163797…

15
3.14(158730)


16
не хуже, чем 3.14(158730)


17



18



19

$3+1/4-1^5/9+2^{-6}/5-3^{-5}/8/9\cdot 7-9^{-3}/2^3/8$   = 3,141592363...



Интересные открытые вопросы:
1. Случится ли такое, что при добавлении очередной цифры точность приближения ухудшится? Эту задачу можно решать отдельно для основных групп выражений.

2. Получится ли для некоторого количества цифр выразить число пи точнее, чем сама запись числа пи этими цифрами? Сложно найти простой аргумент против, ведь, например, приближение 355/113=3,14159290..., состоящее из шести цифр, даёт 7 верных знаков записи.

Комментариев нет :

Отправить комментарий