Найти наименьший положительный корень тригонометрического уравнения

Время от времени я нахожу в математических группах ВКонтакте просьбы о решении школьных математических задач и разбираю их в своём блоге. Вот, например, в одной из контрольных работ самой сложной, 10-й задачей была такая.

Условие
Найти наименьший положительный корень уравнения
1 - sin 2x = (cos 2x + sin 2x)²

Решение
Во-первых, обратим внимание, что во всех тригонометрических функциях аргумент одинаковый и равен 2х. Сделаем замену:
t = 2x
Уравнение превращается в:
1 - sin t = (cos t + sin t)²

Теперь раскроем правую часть, пользуясь формулами сокращённого умножения и тригонометрическими тождествами.

1 - sin t = cos²  t + 2 sin t cos t + sin²  t
1 - sin t = 1 + 2 sin t cos t
 - sin t = 2 sin t cos t  // вот тут не стоит торопиться сворачивать удвоенное произведение синуса на косинус в синус двойного угла



2 sin t cos t + sin t = 0

Выносим общий множитель:
sin t (2 cos t + 1) = 0

В левой части уравнения произведение, а в правой части - ноль. Произведение равно нулю когда хотя бы один из множителей равен нулю.

Рассмотрим оба варианта.

а) sin t = 0
Это один из особых случаев тригонометрического уравнения. Решением его является:
$t=\pi n,~n\in Z$
И, возвращаясь к подстановке:
$x=\frac{\pi n}{2},~n\in Z$

б) 2 cos t + 1 = 0
$\cos t = -\frac{1}{2}$

Применяем стандартную формулу для решения простейшего тригонометрического уравнения
$t = \pm arccos\left(-\frac{1}{2}\right)+2\pi k,~k\in Z$

Избавляемся от минуса под арккосинусом, применив формулу $arccos (-x)=\pi-arccos x$
$t = \pm \left(\pi - arccos\frac{1}{2}\right)+2\pi k,~k\in Z$

Вспомним, что арккосинус одной второй равен пи на 3, $arccos \frac{1}{2}=\frac{\pi}{3}$

$t = \pm \left(\pi - \frac{\pi}{3}\right)+2\pi k,~k\in Z$

$t = \pm \frac{2\pi}{3}+2\pi k,~k\in Z$

И находим х:
$x = \pm \frac{\pi}{3}+\pi k,~k\in Z$

Таким образом, решением уравнения будут множества корней:
$x=\frac{\pi n}{2},~n\in Z$ или $x = \pm \frac{\pi}{3}+\pi k,~k\in Z$

В первом случае положительные значения корней будут получатся, начиная с n = 1 и наименьшим положительным корнем будет $\frac{\pi \cdot 1}{2}=\frac{\pi}{2}$. А во втором случае положительные корни будут получаться, начиная с k = 0 и наименьшим положительным корнем будет число $+ \frac{\pi}{3}+\pi \cdot 0= \frac{\pi}{3}$

Наименьшим положительным корнем уравнения 1 - sin 2x = (cos 2x + sin 2x)² будет число $\frac{\pi}{3}$

Ответ:  $\frac{\pi}{3}$