Время от времени я нахожу в математических группах ВКонтакте просьбы о решении школьных математических задач и разбираю их в своём блоге. Вот, например, в одной из контрольных работ самой сложной, 10-й задачей была такая.
Условие
Найти наименьший положительный корень уравнения
1 - sin 2x = (cos 2x + sin 2x)2
Решение
Во-первых, обратим внимание, что во всех тригонометрических функциях аргумент одинаковый и равен 2х. Сделаем замену:
t = 2x
Уравнение превращается в:
1 - sin t = (cos t + sin t)2
Теперь раскроем правую часть, пользуясь формулами сокращённого умножения и тригонометрическими тождествами.
1 - sin t = cos2 t + 2 sin t cos t + sin2 t
1 - sin t = 1 + 2 sin t cos t
- sin t = 2 sin t cos t // вот тут не стоит торопиться сворачивать удвоенное произведение синуса на косинус в синус двойного угла
2 sin t cos t + sin t = 0
Выносим общий множитель:
sin t (2 cos t + 1) = 0
В левой части уравнения произведение, а в правой части - ноль. Произведение равно нулю когда хотя бы один из множителей равен нулю.
Рассмотрим оба варианта.
а) sin t = 0
Это один из особых случаев тригонометрического уравнения. Решением его является:
$t=\pi n,~n\in Z$
И, возвращаясь к подстановке:
$x=\frac{\pi n}{2},~n\in Z$
б) 2 cos t + 1 = 0
$\cos t = -\frac{1}{2}$
Применяем стандартную формулу для решения простейшего тригонометрического уравнения
$t = \pm arccos\left(-\frac{1}{2}\right)+2\pi k,~k\in Z$
Избавляемся от минуса под арккосинусом, применив формулу $arccos (-x)=\pi-arccos x$
$t = \pm \left(\pi - arccos\frac{1}{2}\right)+2\pi k,~k\in Z$
Вспомним, что арккосинус одной второй равен пи на 3, $arccos \frac{1}{2}=\frac{\pi}{3}$
$t = \pm \left(\pi - \frac{\pi}{3}\right)+2\pi k,~k\in Z$
$t = \pm \frac{2\pi}{3}+2\pi k,~k\in Z$
И находим х:
$x = \pm \frac{\pi}{3}+\pi k,~k\in Z$
Таким образом, решением уравнения будут множества корней:
$x=\frac{\pi n}{2},~n\in Z$ или $x = \pm \frac{\pi}{3}+\pi k,~k\in Z$
В первом случае положительные значения корней будут получатся, начиная с n = 1 и наименьшим положительным корнем будет $\frac{\pi \cdot 1}{2}=\frac{\pi}{2}$. А во втором случае положительные корни будут получаться, начиная с k = 0 и наименьшим положительным корнем будет число $+ \frac{\pi}{3}+\pi \cdot 0= \frac{\pi}{3}$
Наименьшим положительным корнем уравнения 1 - sin 2x = (cos 2x + sin 2x)2 будет число $\frac{\pi}{3}$
Ответ: $\frac{\pi}{3}$
Занимательная математика, задачи олимпиады Кенгуру, решения и ответы, формулы по алгебре и геометрии для всех классов, подготовка к тестированию ЗНО.
Умные игры и приложения для Android
Can you solve all the puzzles in the game Nemters: numbers from letters?
Google Play: https://play.google.com/store/apps/details?id=air.com.airapport.nemters
AppStore (US): https://apps.apple.com/us/app/nemters/id1473746933
Google Play: https://play.google.com/store/apps/details?id=air.com.airapport.nemters
AppStore (US): https://apps.apple.com/us/app/nemters/id1473746933
Подписаться на:
Комментарии к сообщению
(
Atom
)
Комментариев нет :
Отправить комментарий