Формулы сокращённого умножения - камень преткновения в алгебре 8 класса

Действительно, формулы сокращённого умножения давно вызывают затруднения у школьников, которые пытаются их механически выучить, не понимая принципа. Они, например, упоминаются в хорошем юмористическом рассказе Юрия Сотника "Крокодилёнок" 1950 года.

В то же время использоваться они будут не только в восьмом классе, но и во всей последующей математике, вплоть до задач внешнего тестирования. В этом выпуске "школьного математического справочника" мы сначала представим формулы, а затем расскажем, как они выводятся.

Список формул сокращённого умножения

Выражения с квадратами

1. Как раскрыть квадрат суммы:
Квадрат суммы двух величин равен сумме квадратов этих величин и удвоенного произведения первой величины на вторую.

(a+b)² = a²+2ab+b²

2. Как раскрыть квадрат разности:
Квадрат разности двух величин равен сумме квадратов этих величин, уменьшенному на удвоенное произведение первой величины на вторую.

(a-b)² = a²-2ab+b²


3. Как разложить на множители разность квадратов:
Разность квадратов двух величин равна произведению суммы этих величин на их разность.

a² -b² = (a-b)(a+b)

Формулы для разложения на множители суммы квадратов нет.

Выражения с кубами
4. Как раскрыть куб суммы:
Куб суммы двух величин равен сумме кубов этих величин и утренного произведения этих величин на их сумму. Или, что то же самое, сумме кубов этих величин, утроенного произведения квадрата первой величины на вторую и  утроенного произведения первой величины на квадрат второй.

(a+b)³ = a³ + b³ +3ab(a+b) =  a³ + 3a²b + 3ab² + b³

4. Как раскрыть куб разности:
Куб разности двух величин равен разности кубов этих величин и утренного произведения этих величин на их разность. Или, что то же самое, кубу первой величины минус утроенное произведение квадрата первой величины на вторую плюс утроенного произведения первой величины на квадрат второй и мус куб второй величины.

(a-b)³ = a³ - b³ +3ab(a-b) =  a³ - 3a²b + 3ab² - b³

5. Как разложить на множители сумму кубов:
Сумма кубов двух величин равна произведению суммы этих величин на неполный квадрат их разности.

a³ + b³ = (a+b)(a²-ab+b²)

6. Как разложить на множители разность кубов:
Разность кубов двух величин равна произведению разности этих величин на неполный квадрат их суммы.

a³ - b³ = (a-b)(a²+ab+b²)

Обратите внимание, что неполный квадрат разности отличается от обычного квадрата разности тем, что при ab коэффициент равен 1, а не 2. Аналогично и для неполного квадрата суммы.
Вот и все формулы, которые нужны в 8 классе. Помните, что они действуют как в одну сторону, так и в другую, то есть с их помощью можно как раскрывать выражения, так и делать их компактнее.
А теперь рассмотрим, как понять и запомнить эти формулы.

Как выводятся формулы сокращённого умножения

Формулы скоращённого умножения - это инструмент. Чтобы умело пользоваться этим инструментом надо разобраться. как он устроен. Давайте представим, что мы не знаем формулы квадрата суммы и попробуем возвести выражение (a+b) в квадрат.

Умножим его само на себя и раскроем скобки:
(a+b)² = (a+b)(a+b) = a²+ba+ab+b² = a²+2ab+b²
Готово! Теперь, каждій раз, когда нам необходимо возвести в квадрат сумму, эти преобразования можно не выполнять, а сразу пользоваться готовым инструментом.

Давайте теперь возведём сумму выражений в куб. Как возводить сумму в квадрат мы знаем, поэтому поступим так:
(a+b)³ = (a+b)(a+b)² = (a+b)(a²+2ab+b²) = a³+2a²b +ab²+ba²+2ab² +b³ =  a³ + 3a²b + 3ab² + b³

И средних двух множителей можно вынести общий множитель ab и получить альтернитивную форму записи:
a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = a³ +  b³ +3ab(a+b)

Как из формул суммы получить формулы разности? Очень просто! аменим b на -b и учтём, что при возведении в нечётную степень минус сохраняется, а в чётную - превращается в плюс.
(a-b)² = a²+2a(-b)+(-b)² =  a²-2ab+b²

(a-b)³ = a³ + 3a²(-b) + 3a(-b)² + (-b)³ =  a³ - 3a²b + 3ab² - b³

Можно достаточно просто получать и аналогичные формулы сумм выражений для высших степеней, мы о них напишем в разделе Занимательная математика.

Теперь покажем, как выводится формула разности квадратов.

Берём выражение
a² -b²

Прибавим к нему ab и вычтем из него ab.
a² -b² +ab - ab

Теперь перегруппируем слагаемые и вынесем общие множители
a² +ab - b² - ab = a(a+b) - b(a+b) = (a-b)(a+b)

Вот и разложилось!

Так же раскладывается и разность кубов, только прибавить и вычесть надо по a²b и группировать чуть-чуть по-другому:
a³ - b³ = a³ - b³ +a²b -a²b = a³ -a²b - b³ +a²b = a²(a-b)+b(a² -b² ) = a²(a-b)+b(a-b)(a+b) = (a-b)(a²+b(a+b)) = (a-b)(a²+ab+b²)

Ну и для полноты картины разложим на множители сумму кубов.
a³ + b³ = a³ + b³ +a²b -a²b = a³ +a²b + b³ - a²b = a²(a+b) - b(a² -b² ) = a²(a+b) - b(a-b)(a+b) = (a+b)(a²-b(a-b)) = (a-b)(a²-ab+b²)

Вот все основные формулы, на которых строится алгебра 8 класса и которые используются далее. Поняв, как они работают, выучить и пользоваться ими будет очень просто.

А в разделе олимпиадных задач мы рассмотрим интересные случаи применения формул сокращённого униожения.